Teknisk fysik, årskurs 1

Linjär algebra och numerisk analys — föreläsningsanteckningar

av Christian von Schultz

Föreläsare: Ivar Gustavsson

Efter att tidigare anteckningar på nätet varit uppskattade, har jag här gjort om samma sak. De är datorskrivna, men för att jag ska hinna med att anteckna allt har jag i regel gjort figurerna på papper; de saknas därför i denna framställning. Antalet figurer som finns med anges efter varje länk.

Måndag 2006-03-13 (1 av 1 figurer)

Tre beräkningsområden för linjär algebra; linjära rum; underrum.

Tisdag 2006-03-14 (0 av 3 figurer)

Affina mängder, nollrum till en matris, värderum/kolonnrum till en matris, linjära avbildningar, nollrum till en avbildning, linjärt oberoende, bas i ett vektorrum.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-15

Uppgifter 4.1.1, 4.1.5, 4.1.9, 4.1.15, 4.1.27, 4.2.5, 4.2.7, 4.2.15, 4.2.17, 4.2.27, 4.2.33, 4.2.34

Torsdag 2006-03-16 (0 av 1 figurer)

Definierar koordinaterna för x i en bas, koordinatavbildningen relativt denna bas, koordinatbytesmatrisen, dimension av ett rum.
Satser: Om en uppsättning vektorer är linjärt beroende kan en av dem skrivas som en linjärkombination av de övriga; givet en bas för ett linjärt rum kan alla element i rummet skrivas med koordinater i denna bas; koordinatbytesformeln; koordinatavbildningen är bijektiv; varje uppsättning med fler än n vektorer är i ett n-dimensionellt rum linjärt beroende; alla baser till ett givet rum har lika många element.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-16

Uppgifter 4.3.1, 4.3.2, 4.3.4, 4.3.6, 4.3.8, 4.3.9, 4.3.13, 4.3.26, 4.4.1, 4.4.7, 4.4.9, 4.4.17, 4.4.21, 4.4.27

Fredag 2006-03-17 (0 av 1 figurer)

Definierar rang av en matris.
Satser: Ett underrum har alltid lägre (eller lika, om underrummet = rummet) dimension än hela rummet; i ett p-dimensionellt rum är varje uppsättning av p linjärt oberoende element en bas, samt varje uppsättning p element som spänner rummet en bas; rangsatsen och dimensionssatsen; basbytesformeln.

Måndag 2006-03-20 (0 av 0 figurer)

LU-faktorisering; pivotering; vektornormer och matrisnormer

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-20 (0 av 0 figurer)

Lay 4.5.1, 4.5.5, 4.5.7, 4.5.11, 4.5.13, 4.5.21, 4.6.1, 4.6.5, 4.6.13, 4.6.19, 4.6.31, 4.7.1

Tisdag 2006-03-21 (2 av 2 figurer)

Mer om matris- och vektornormer, lösningsnoggranhet
Definierar: konditionstalet, illa konditionerat/instabilt problem, ortogonal matris, positivt definit matris.
Satser: Gramm-Schmidt, QR-faktorisering

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-22

Torsdag 2006-03-23

Bevisar normalekvationerna, visar att man kan använda QR-faktorisering för minsta-kvadrat-problem.
Definierar skalärprodukt (innerprodukt), vinkeln mellan två element i ett skalärproduktrum.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-23

Måndag 2006-03-27

Mer om skalärproduktrum; Cauchy-Schwarz och triangelolikheten; viktad minsta-kvadrat; trendanalys; Fourierserier; ortogonala avbildningar.

Demonstrationsräknade övnignar från 2006-03-27

Tisdag 2006-03-28

Householdertransformationer
Definierar egenvektor, egenvärde, egenrum, den karakteristiska ekvationen.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-29

Torsdag 2006-03-30

Användning av diagonalisering vid linjärt, diskret, dynamiskt system.
Satser: Om A är triangulär så är egenvärdena diagonalelementen. Egenvektorer till olika egenvärden är linjärt oberoende. Två similära matriser har samma egenvärden. Diagonalisering. Multipla egenvärden.
Definierar similära matriser, diagonaliserbar matris

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-30

Dessa saknar jag. Skulle någon kunna kopiera sina anteckningar härifrån och ge mig?

Måndag 2006-04-03

Om A är en reell matris gäller att egenvärden och egenvektorer förekommer komplext konjungerade. Egenfunktioner. Komplexa egenvärden till 2×2-matriser. Några användningar av diagonalisering.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-04-03

Tisdag 2006-04-04

Kontinuerliga dynamiska system, analytisk lösning till x' = Ax då A är diagonaliserbar. Kvadratiska former. Spektral uppdelning av en matris.
Satser: Om A är symmetrisk är egenvektorerna till olika egenvärden ortogonala. Om och endast om A är ortogonalt diagonaliserbar är A symmetrisk. Spektralsatsen. Diagonalisering av kvadratiska former. Samband mellan in-/positivt/negativt definit och egenvärdenas tecken.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-04-05

Torsdag 2006-04-06

Potensmetoden för hittande av egenvärden.
Definierar singulära värden. Pseudoinvers.
Satser: En kvadratisk form antar värden mellan sitt största och minsta egenvärde. I riktningar vinkelräta mot till största egenvärdet hörande egenvektor antas som mest det näst största egenvärdet, osv.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-04-06

Fredag 2006-04-07

Potensmetoden: Deflation, inversiteration, invers iteration med skift, singulärvärdesuppdelning, trunkerad SVD (och konditionstal vid trunkerad SVD). Något om polynomens naturliga bas i ett skalärproduktrum. Egenvektorerna i spektralsatsen.

Måndag 2006-04-24

Introduktion till numerisk analys. Matematisk analys versus numerisk analys. Matematiskt problem, numeriskt problem, algoritm. Stabilitet (stabilt problem, stabil algoritm).

Tisdag 2006-04-25

Fler grundläggande begrepp: Noggrannhet, effektivitet, iteration, rekursion. Felfortplantning. Flyttalsaritmetik, IEEE-standard.
Definierar absolut fel, relativt fel, korrekta decimaler, signifikanta siffror.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-04-26

Torsdag 2006-04-27

Mer om flyttalsaritmetik. Maskintal. Kancellation. Utskiftning. Newtons metod. Sekantmetoden. Metodoberoende felformel.
Definierar enkelrot, multipelrot, multiplicitet, konvergensordning, asymptotisk felkonstant.

Tisdag 2006-05-02

Newtons metod i flera variabler, varianter av Newtons metod, metodoberoende feluppskattning, fixpunktsiteration
Definierar singulär rot, reguljär rot till en ekvation, sökmetod, sökriktning, sekantvillkoret, fixpunkt till en funktion.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-05-03

Torsdag 2006-05-04

Numerisk approximation av derivator, differentialekvationer. Lokalt fel, lokal lösning, lokalt problem, globalt fel, konvergent metod, testproblem.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-05-04

Heath 8.12, 13, 9.1, 9.3, 9.4, 9.8

Fredag 2006-05-05

Mer om differentialekvationer: enstegsmetod, tvåstegsmetod, stabilitet, Runge-Kutta, Heuns metod, mer om implicta metoder, prediktor, korrektor

Måndag 2006-05-08

Styva ODE. Interpolation: polynominterpolation, den naturliga polynombasen, Newtons bas, splines.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-05-08

Extra 25, 26, Heath 9.9, 9.10.

Tisdag 2006-05-09

Ett par exempel på splines-uppgifter, numerisk beräkning av integraler, optimering.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-05-10

Heath 7.1, 7.3, 7.9, Extra 18

Torsdag 2006-05-11

Optimering, fortsättning. Gradient, Hessian. Speciella optimeringsproblem: Linjär programmering, kvadratisk programmering. Tillåten riktning, descentriktning. Optimering med gyllene snittet.

Måndag 2006-05-15

Demonstrationsräknade övningar från 2006-05-15

Tisdag 2006-05-16

Demonstrationsräknade övningar från 2006-05-17

Torsdag 2006-05-18

Tentauppgifter

Last modified: Thu May 18 16:32:06 CEST 2006