Chalmers Disclaimer

Teknisk fysik, årskurs 2

Komplex analys — föreläsningsanteckningar

av Christian von Schultz

Föreläsare: Jana Madjarova

Under kursen i komplex analys 2006 har jag tagit anteckningar på datorn. Figurer har jag dock gjort för hand, och finnes därför som separata länkar. Vid några tillfällen har jag missat föreläsningar; i dessa fall har jag lagt upp inscannade anteckningar från en kompis. På räkneövningarna har jag antecknat för hand.

Läsvecka 1

Jag var upptagen med F-spexet och undervisning i datorintroduktion.

Måndag 2006-09-11 (figurer)

Definierar exponentialfunktionen, sinus och cosinus (och deras hyperboliska varianter), den flertydiga logaritmen, flertydiga potenser (entydighet fås genom att göra ett snitt och välja en gren). Möbiusavbildningar.
Uppgift 4.1.1.a

Demonstrationsräknade övningar från 2006-09-12

Uppgifter 1.5.23, 2.1.16, 2.1.20d, 4.1.1.b, 4.1.1e, 4.1.2, 4.1.12, 3.3.4.a, 3.3.4.d, 3.3.5.a, 3.3.7.d

Tisdag 2006-09-12

När denna föreläsning hölls föreläste jag Internet för F1:orna. Vad som togs upp finns en bit in i lasvecka_1.pdf.

Onsdag 2006-09-13 (figurer)

Definierar kurvor i R², likhet mellan kurvor, Jordankurva.
Satser: Jordans sats, Greens sats, Stokes sats, Cauchy-Goursats sats.
Betraktar z^1/n, kurvintegraler.
Uppgifter 1.6.2, 1.6.16.

Torsdag 2006-09-14 (figurer)

Definierar fixpunkter, det dubbla förhållandet mellan fyra punkter, invers punkt P' till P i en cirkel.
Satser: Möbiusavbildningar bevarar det dubbla förhållandet mellan fyra punkter, inversen till en Möbiusavbildning är en Möbiusavbildning, sammansättningar av Möbiusavbildningar är Möbiusavbildningar
Betraktar kongruenta, konforma och isogonala avbildningar

Måndag 2006-09-18 (figurer)

Satser: ML-olikheten, Cauchys integralformel.
Betraktar deformation av konturer, lokalisering.
Uppgifter 2.3.2, 2.3.8

Demonstrationsräknade övningar från 2006-09-19

Tisdag 2006-09-19

När denna föreläsning hölls föreläste jag LaTeX för F1:orna.

Onsdag 2006-09-20 (figurer)

Definierar nollställens multiplicitet, isolerad singularitet, hävbar singularitet, pol, väsentlig singularitet.
Satser: Taylors sats, entydigheten i Taylorutvecklingar, nollställena till en analytisk funktion (som ej är konstant noll) är isolerade, Laurentutvecklingar
Betraktar utveckling av rationella funktioner kring 0.

Torsdag 2006-09-21 (figurer ett till fyra, figurer fem till tolv)

Definierar förgreningspunkter
Betraktar val av entydig gren för flertydiga funktioner.
Uppgifter: Givet en cirkel och två punkter innanför denna, visa att det finns exakt två cirklar som går genom punkterna och tangerar den givna cirkeln.

Måndag 2006-09-25 (figurer)

Definierar isolerade singulära punkter, hävbar singularitet, pol av ordning m, väsentliga singulariteter
Satser: Laurentutvecklingar, z₀ är en hävbar singularitet om och endast om f(z) går mot något tal när z→z₀; z₀ är en pol om och endast om f(z)→∞ då z→z₀; z₀ är en väsentlig singularitet om och endast om f(z) inte går mot något alls då z→z₀; Weierstraß' sats, Picards stora sats
Uppgifter: 2.3.4 och en variant därav.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-09-26

Tisdag 2006-09-26

När denna föreläsning hölls föreläste jag datorrepetition och LaTeX för F1:orna.

Onsdag 2006-09-27 (figurer)

Satser: residysatsen
Uppgifter 2.4.2, 2.4.6, 2.4.12, 2.5.22.c, 2.5.22.d, 2.5.23.a, 2.6.2
Betraktar olika typer av reella integraler man kan angripa med komplexa metoder; valeur principale/principal value (Cauchys principalvärde).

Torsdag 2006-09-28 (figurer)

Satser: tre ekvivalenta påståenden för hävbara singulariteter, Riemanns sats, ekvivalenser för poler och väsentliga singulariteter (samma som i måndags), Casorati-Weierstraß' sats, Maximumprincipen, Schwarz' lemma.

Måndag 2006-10-02 (figurer)

Satser: Analytiska funktioners nollställen är isolerade om de inte är konstant noll, analytiska funktioner med icke-isolerade nollställen är konstant noll.
Uppgifter: 2.6.2, 2.6.4

Demonstrationsräknade övningar från 2006-10-03

Tisdag 2006-10-03 (figurer)

Betraktar: analytisk fortsättning, den logaritmiska indikatorn
Satser: Argumentprincipen, Rouchés sats i två formuleringar.

Onsdag 2006-10-04 (figurer)

Satser: Rouchés sats i två formuleringar; om f är en kvot mellan analytiska funktioner och har en enkelpol i z₀ kan man räkna ut residyn på enkelt sätt.
Uppgifter: 3.1.15, 3.1.17c, 2.6.5'

Torsdag 2006-10-05 (figurer)

Satser: Rouchés sats i den andra formuleringen (denna gång med självständigt bevis), Maximumprincipen.
Uppgift 2.6.14 (början av den)

Måndag 2006-10-09 (figurer)

Definierar konforma avbildningar.
Betraktar translation, rotation, spegling, inversion; strömlinjer.
Satser: en analytisk funktion med nollskiljd derivata i z₀ är konform i z₀.
Uppgifter: 3.1.2

Demonstrationsräknade övningar från 2006-10-10

Tisdag 2006-10-10 (figurer ett till fyra, figurer fem och sex)

Uppgifter: 3.1.8, 3.3.4.e, 7a, 7c, 15, 3.5.6, 3.5.9, 4.3.2

Onsdag 2006-10-11 (figurer)

Definierar fixpunkt, Fouriertransform, Laplacetransform
Betraktar Laplace- och Fouriertransformer av derivator.
Satser: Riemanns sats, Laplacetransformen av en funktion som växer högst exponentiellt går mot noll då s→∞

Torsdag 2006-10-12 (figurer ett till fyra, figurer fem till åtta)

Definierar typ av singularitet i ∞
Satser: utseendet för en bijektiv analytisk funktion från enhetsskivan till enhetsskivan.
Uppgifter: 2.6.14, 2.6.24, 3.4.2

Måndag 2006-10-16 (inklusive figurer!)

Definierar: faltning, z-transform.
Betraktar komplext variabelbyte i generaliserad integral på realaxeln.
Uppgifter: 5.1.1, 5.1.5

Demonstrationsräknade övningar från 2006-10-17 (figurer)

Uppgifter: 5.1.2', 5.1.4, 5.3.2, 5.3.6, 5.3.14, 5.5.2, 5.5.5, 5.5.8.

Tisdag 2006-10-17

Definierar faltning i z-transform-sammanhang, derivata i en punkt, analytisk funktion.
Satser: Identitetssatsen; Theorem on Shifting.
Uppgifter 5.3.4, 5.3.11, 5.4.2, 5.5.4, 5.5.11

Onsdag 2006-10-18

Satser: Cauchy-Riemann som tillräckligt villkor för analyticitet, Cauchy-Goursats sats, Moreras sats, Cauchys integralformel, Taylorserie, Laurentserie, Residysatsen, argumentprincipen, Rouchés sats, algebrans fundamentalsats.

Torsdag 2006-10-19

Uppgift ett från tentamen 2006-08-23
Sats: Dragos sats
Definierar Diracs δ-funktion (eller egentligen -distribution)

Last modified: Sun Oct 22 13:12:48 CEST 2006