Teknisk fysik, årskurs 1

Flervariabelanalys — föreläsningsanteckningar

av Christian von Schultz

Föreläsare: Bernhard Behrens

Det har kommit upprepade önskemål att jag lägger upp mina föreläsningsanteckningar på Internet. De är datorskrivna, men för att jag ska hinna med att anteckna allt har jag i regel gjort figurerna på papper; de saknas därför i denna framställning. Antalet figurer som finns med anges efter varje länk.

Måndag 2006-01-16 (0 av 2 figurer)

Definierar för funktioner av två variabler: partiell deriverbarhet, differentierbarhet i en punkt, tangentplan till z=f(x,y)
Satser: kontinuerliga partiella derivator medför differentierbarhet; addition, multiplikation, division av differentierbara funktioner ger differentierbart resultat; kedjeregeln i två variabler.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-01-18 (0 av 0 figurer)

Uppgifter 2.1e, 2.2b, 2.11, 2.8b, 2.25a-b

Onsdag 2006-01-18 (0 av 1 figurer)

Definierar C^m-fält, gradienten till f, riktningsderivatan av f.
Satser: om f är differentierbar i en punkt så är f kontinuerlig i denna punkt; C¹ medför differentierbar; f är konstant om grad f = 0; gradienten är ett normalfält (vinkelrätt mot nivåytor och -kurvor); funktionen växer snabbast i riktning grad f, avtar snabbast i riktning -grad f.

Torsdag 2006-01-19 (1 av 5 figurer)

Bevis av att f växer snabbast i riktning grad f, avtar snabbast i riktning -grad f.
Definierar största/minsta värde, lokalt maximum/minimum, extrempunkt, extremvärde, sadelpunkt (med fin bild), stationär/kritisk punkt.
Satser: om f är C^m spelar det för de m första derivatorna ingen roll i vilken ordning vi deriverar; om en deriverbar funktion antar ett extremvärde är grad f = 0, Taylorutveckling med restterm av ordning 3

Demonstrationsräknade övningar från 2006-01-19 (0 av 0 figurer)

Uppgifter 2.14, 2.21, 2.23, 2.35, 2.58, 2.61b, 2.64.
Definierar kvadratisk form, positivt definit, negativt definit, indefinit, semidefinit.

Måndag 2006-01-23 (0 av 0 figurer)

Definierar funktionalmatris/Jacobi-matris, funktionaldeterminant/Jacobi-determinant
Satser: en kvadratisk form är homogen av ordning två (med världens lättaste bevis), positivt definit medför sträng lokal minimipunkt, negativt definit: maximipunkt, indefinit: sadelpunkt

Demonstrationsräknade övningar från 2006-01-25 (0 av 0 figurer)

Uppgifter 2.69c, 2.67.

Onsdag 2006-01-25 (0 av 1 figurer)

Visar att funktionaldeterminanten vid övergång till polära koordinater är r.
Definierar differentierbarhet av godtyckliga fält, differential
Satser: kedjeregeln för godtyckliga fält; inversa funktionssatsen.

Torsdag 2006-01-25 (0 av 4 figurer)

Definierar Riemann-integrerbarhet
Satser: implicita funktionssatsen; om f är kontinuerlig konvergerar alla Riemann-summor mot samma tal: integralen.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-01-26 (0 av 1 figurer)

Uppgifter 2.68 c,d; 2.71d; 3.13, 3.18, 3.21, 3.25, 3.27; 6.2.

Måndag 2006-01-30 (0 av 4 figurer)

Uppgifter 6.4, 6.6, 6.12
Definierar nollmängd, mätbar mängd
Satser: Fubinis sats, integration över "standardområden", integralens linearitet, triangelolikheten för integraler

Demonstrationsräknade övningar från 2006-02-01 (0 av 0 figurer)

Uppgift 3.24.

Onsdag 2006-02-01 (0 av 3 figurer)

Uppgift: gränsvärde av erf(x) då x går mot oändligheten.
Definierar uttömmande följd av mängder, konvergenta/divergenta generaliserade integraler
Satser: Variabelsubstitution i dubbelintegraler.

Torsdag 2006-02-02 (1 av 3 figurer)

Satser: jämförelsekriterier för generaliserade integraler, beräkning av trippelintegraler, variabelsubstitution i trippelintegraler

Demonstrationsräknade övningar från 2006-02-02 (4 av 4 figurer)

Uppgifter 2.42, tillämpningar av integraler, 6.4, 6.14, 6.22, 6.29, 6.47

Måndag 2006-02-06 (0 av 3 figurer)

Definierar kurvintegral, enkla kurvor, slutna kurvor, positivt orienterade kurvor i planet, enkelt sammanhängande mängder i planet, konservativa fält.

Onsdag 2006-02-08 (0 av 6 figurer)

Satser: kurvintegralen är oberoende av vägen om och endast om kurvintegralen över en (enkel) sluten kurva är noll; Greens sats; huvudresultat i planet.

Torsdag 2006-02-09 (1 av 2 figurer)

Definierar arean av en yta, ytans areaelement
Satser: energin bevaras då en partikel rör sig i ett konservativt kraftfält; den allmänna lösningen till en exakt differentialekvation

Demonstrationsräknade övningar från 2006-02-09 (1 av 3 figurer)

6.54, 6.43, 7.10, 9.3, 9.4, 9.9, 9.12

Måndag 2006-02-13 (0 av 3 figurer)

Definierar ytintegral, flödet av ett strömningsfält genom en yta, divergens av ett fält (differentialoperatorn div)
Satser: Gauss' (Ostrogradskys) divergenssats.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-02-15 (2 av 3 figurer)

Uppgifter 9.10, 9.24 och 8.16

Torsdag 2006-02-16 (1 av 3 figurer)

Visar att Gauss' sats ger Greens sats och tvärtom om man arbetar i planet, ytintegral av ett elfält.
Definierar källstyrkan av v i en punkt P₀, källfritt/volymbevarande fält, källor, sänkor, rot F/curl F, nabla, orienterad yta, dess rand och positiv/negativ sida.
Satser: Stokes sats

Demonstrationsräknade övningar från 2006-02-16 (2 av 5 figurer)

Arean av en ellips, arean av en asteroid.
Uppgifter 8.15, 10.9, 10.21, 10.30

Måndag 2006-02-20 (1 av 9 figurer)

Visar på likheten mellan Greens och Stokes sats.
Definierar ett fälts virveltendens, virvelfria fält, rotationsfält och vektorpotential (och relationen dememellan), enkelt sammanhängande mängder i rummet, konvexitet.
Satser: Stokes sats (nu med bevis); huvudresultat (karakterisering av virvelfria och källfria fält).

Demonstrationsräknade övningar från 2006-02-22 (2 av 5 figurer)

Uppgifter 10.13, 10.31, 10.54.

Onsdag 2006-02-22 (0 av 1 figurer)

Två viktiga huvudexempel.
Satser: resten av huvudresultatet.

Torsdag 2006-02-23 (1 av 4 figurer)

Introducerar max-min-problem.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-02-23 (1 av 3 figurer)

Uppgifter 10.53, 10.55, 10.56, 10.62, 10.68, 4.3.

Måndag 2006-02-27 (0 av 2 figurer)

Uppgifter 4.25, 4.32.
Satser: Lagranges multiplikatormetod.

Demonstrationsräknade övningar från 2006-03-01 (4 av 4 figurer)

Uppgifter 4.6, 4.15, 4.42.

Onsdag 2006-03-01 (2 av 2 figurer)

Uppgifter 4.44, 5.9, 1 och 2 från gammal tenta från 2005-03-14.
Satser: Derivering under integralen.

Torsdag 2006-03-02 (6 av 6 figurer)

Tentauppgifter

Last modified: Tue Mar 7 14:41:19 CET 2006